泰勒公式和常见函数的泰勒展开式

泰勒公式是数学分析中的一个重要结果，它用于在某点附近逼近函数。具体来说，泰勒公式表明一个函数可以通过其在某一点的导数值来逼近。泰勒公式通常写作：

$$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x) $$

其中，( a ) 是展开点，( f^{(n)}(a) ) 表示函数 ( f ) 在 ( a ) 点的第 ( n ) 阶导数，( R_n(x) ) 是第 ( n ) 阶余项。

特地的，当我们在 ( a = 0 ) 处展开函数 ( f(x) ) 的泰勒级数时，就得到 麦克劳林级数（Maclaurin series）。麦克劳林公式可以表示为：

$$ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n(x) $$

其中 ( R_n(x) ) 是余项，可以表示为拉格朗日余项或佩亚诺余项形式。

麦克劳林级数的定义

对于在 ( x = 0 ) 处解析的函数 ( f(x) )，麦克劳林级数为：

$$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n $$

常见函数的麦克劳林展开式

1. 指数函数 ( e^x )

$$ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $$

2. 正弦函数 ( \sin(x) )

$$ \sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots $$

3. 余弦函数 ( \cos(x) )

$$ \cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots $$

4. 正切函数 ( \tan(x) )

$$ \tan(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{B_{2n} (-4)^n (1 - 4^n)}{(2n)!} x^{2n-1} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \cdots $$

其中 ( B_{2n} ) 是伯努利数。

5. 反正弦函数 ( \arcsin(x) )

$$ \arcsin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \cdots $$

6. 反余弦函数 ( \arccos(x) )

$$ \arccos(x) = \frac{\pi}{2} - \arcsin(x) = \frac{\pi}{2} - \left( x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \cdots \right) $$

7. 反正切函数 ( \arctan(x) )

$$ \arctan(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots $$

8. 双曲正弦函数 ( \sinh(x) )

$$ \sinh(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots $$

9. 双曲余弦函数 ( \cosh(x) )

$$ \cosh(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots $$

10. 双曲正切函数 ( \tanh(x) )

$$ \tanh(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} - \cdots $$

11. 反双曲正弦函数 ( \text{arsinh}(x) )

$$ \text{arsinh}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} - \cdots $$

12. 反双曲余弦函数 ( \text{arcosh}(x) )

$$ \text{arcosh}(x) = \ln(2x) - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)!}{(1-2n) n! (2x)^{2n}} = \ln(2x) - \frac{1}{2 \cdot 2x^2} - \frac{3}{4 \cdot 4x^4} - \cdots $$

13. 反双曲正切函数 ( \text{artanh}(x) )

$$ \text{artanh}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \cdots $$

14. 自然对数函数 ( \ln(1+x) )

$$ \ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots $$

15. 二项式展开式

$$ (1+x)^k = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{k}{n} x^n = 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^3 + \cdots $$

其中 ( \binom{k}{n} ) 是二项式系数。